Question

7．函数f（x）（x＞0）的导函数为f′（x），若xf′（x）+f（x）=e^x，且f（1）=e，则（　　）

• A． f（x）的最小值为e
• B． f（x）的最大值为e
• C． f（x）的最小值为$\frac{1}{e}$
• D． f（x）的最大值为$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 设g（x）=xf（x），求导，得到f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，再根据导数和函数的最值得关系即可求出．

解答 解：设g（x）=xf（x），
∴g′（x）=xf′（x）+f（x）=e^x，
∴g（x）=e^x，
∴xf（x）=e^x，
∴f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
当f′（x）＞0，时，解得x＞1，函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
当f′（x）＜0，时，解得0＜x＜1，函数f（x）在（1，+∞）单调递减，
∴f（x）_min=f（1）=e，
故选：A．

点评 本题考查了导数和函数的最值得关系，关键是构造函数，求出函数f（x）的表达式，属于中档题．