题目内容
4．已知等差正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数都满足2$\sqrt{{S}_{n}}$=an+1．（1）求通项公式an；
（2）令bn=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析 （1）对任意正整数都满足2$\sqrt{{S}_{n}}$=an+1，可得Sn=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出．
（2）bn=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．
解答 解：（1）∵对任意正整数都满足2$\sqrt{{S}_{n}}$=an+1，
∴Sn=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，
∴n=1时，a1=$\frac{1}{4}（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a1=1．
n≥2时，an=Sn-Sn-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化为：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=2，
∴数列{an}是等差数列，公差为2，首项为1．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．
（2）bn=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{bn}的前n项和Tn=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
为了寻找马航MH370残骸，我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O出发，沿北偏东15°角的射线OZ方向航行，而在港口北偏东60°角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A，OA=100（1+$\sqrt{3}$）海里，现指挥部需要紧急征调位于港口O正东x（x＞200）海里的B处的补给船，速往小岛A装上补给物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C相遇，经测算当两船运行的航线与海岸线OB围成的三角形OBC的面积S小时，这种补给方案最优．| A． | x=$\frac{π}{4}$ | B． | x=$\frac{π}{2}$ | C． | x=π | D． | x=$\frac{3π}{2}$ |