题目内容

17．已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（$\sqrt{{a}_{n}}$，an+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令{bn}满足bn=an•xn（x≠0且x≠1），求数列{bn}的前n项和Sn．

分析 （1）由题设条件知an+1=an+1，所以an=n；
（2）用错位相减法求解．

解答 解：（1）点（$\sqrt{{a}_{n}}$，an+1）（n∈N*）在函数y=x2+1
所以an+1=an+1
根据等差数列的定义：{an}是首项为1，公差为1的等差数列
所以an=n；
（2）由已知bn=xnan=nxn
Sn=b1+b2+b3++bn-1+bn
=1×x1+2×x2+3×x3+…+（n-1）×xn-1+n×xn①
xSn=1×x2+2×x3+3×x4+…+（n-1）×xn+n×xn+1②
①-②得（1-x）Sn=x+x2+x3+x4+…+×xn-n×xn+1=$\frac{x（1+{x}^{n}）}{1-x}$-n×xn+1，
Sn=$\frac{x（1+{x}^{n}）}{（1-x）^{2}}$-$\frac{n{x}^{n+1}}{1-x}$．

点评 本题考查数列的概念和性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．

练习册系列答案
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7．设函数f（x）=log2（ax-bx），且f（1）=1，f（2）=log212；
（1）求a，b的值；   
（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性并证明．
8．若函数f（x）=2x3-3ax2+a在R上存在三个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞1B．a＜-1C．a＞1或a＜-1D．a＜0
5．在△ABC中，若角A、B、C成等差数列．
（1）求cosB的值；       
（2）若a、b、c成等比数列，求sinAsinC的值．
12．在△ABC中，若$\frac{cosB}{cosA}$=$\frac{b}{a}$，则△ABC一定是（　　）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
2．下列命题中：
①α=2kx+$\frac{π}{3}$（k∈Z）是tanα=$\sqrt{3}$的充分不必要条件； 
②已知命题P：?x∈R，lgx=0；
命题Q：?x∈R，2x＞0，则P∧Q为真命题； 
③若|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|≠0，函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|x2+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$x在R上有极值，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角范围为[$\frac{π}{3}$，π]； 
④在△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB＜0，则△ABC为钝角三角形；
 ⑤在△ABC中，若（a2+c2-b2）tanB=$\sqrt{3}$ac，则B=60°．
其中正确命题的序号为①②④．
9．给出下列命题：
①函数y=sin（$\frac{5π}{2}$-2x）是偶函数；
②将函数y=cos2x的图象向左平移$\frac{π}{3}$单位，得到函数y=cos（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；
③若函数y=cos（$\frac{x}{3}$+φ），（0＜φ＜π）的一条对称轴方程为x=$\frac{9π}{4}$，则函数y=sin（2x-φ），（0≤x＜π）的单调递减区间为[$\frac{3π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]；
④已知a=sin（sin2015°），b=sin（cos2015°），则 a＜b．
其中正确的命题的序号是：①④．
6．如果定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）在（0，+∞）内是减函数，又有f（3）=0，则f（x）＞0的解集为（-∞，-3）∪（0，3），x•f（x）＜0的解集为（-∞，-3）∪（3，+∞）．
7．设数列{an}的前n项和Sn=n3，则a4的值为（　　）
A．15B．37C．27D．64

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