Question

9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）$（{ω＞0，-\frac{π}{2}＜φ＜0}）$的图象如图所示．
（Ⅰ） 求函数的解析式；
（Ⅱ） 当x∈[-5，-2]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 求出函数的周期，求出ω，利用特殊点，求解φ，即可求函数的解析式；
（Ⅱ） 借助函数的图象之间求解当x∈[-5，-2]时，函数f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由图象可知，函数的周期为T=6，
$ω=\frac{2π}{6}=\frac{π}{3}$．…（2分）
又f（x）的图象过点$（{\frac{1}{2}，0}）$，所以$2sin（{\frac{π}{3}×\frac{1}{2}+φ}）=0$
所以$\frac{π}{3}×\frac{1}{2}+φ=2kπ$，即$φ=2kπ-\frac{π}{6}，k∈Z$，又因为$-\frac{π}{2}＜φ＜0$，所以$φ=-\frac{π}{6}$，…（4分）
故所求函数的解析式是$f（x）=2sin（{\frac{π}{3}x-\frac{π}{6}}）$．…（5分）
（Ⅱ） 因为函数$f（x）=2sin（{\frac{π}{3}x-\frac{π}{6}}）$的周期是T=6，所以求x∈[-5，-2]时函数f（x）的最大值和最小值就是转化为求函数在区间[1，4]上的最大值和最小值．…（8分）
由图象可知，当x=2时，函数的最大值是$f（2）=2sin（{\frac{π}{3}×2-\frac{π}{6}}）=2$；…（10分）
当x=4时，函数的最小值是$f（4）=2sin（{\frac{π}{3}×4-\frac{π}{6}}）=-1$．…（12分）．

点评 本题考查三角函数的解析式的求法，函数的最值以及函数的图象的应用，本题也可以直接求函数$f（x）=2sin（{\frac{π}{3}x-\frac{π}{6}}）$在区间[-5，-2]上的最大值和最小值．