Question

7．某店销售进价为2元/件的产品A，假设该店产品A每日的销售量y（单位：千件）与销售价格x（单位：元/件）满足的关系式y=$\frac{10}{x-2}$+4（x-6）²，其中2＜x＜6．
（1）若产品A销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A所获得的利润；
（2）试确定产品A销售价格x的值，使该店每日销售产品A所获得的利润最大．（保留1位小数点）

Answer 1

分析 （1）当x=4时，销量$y=\frac{10}{2}+4{（{4-6}）^2}=21$千件，可得该店每日销售产品A所获得的利润；
（2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．

解答 解：（1）当x=4时，销量$y=\frac{10}{2}+4{（{4-6}）^2}=21$千件，
所以该店每日销售产品A所获得的利润是2×21=42千元；…（5分）
（2）该店每日销售产品A所获得的利润：$f（x）=（{x-2}）[{\frac{10}{x-2}+4{{（{x-6}）}^2}}]=10+4{（{x-6}）^2}（{x-2}）=4{x^3}-56{x^2}+240x-278（{2＜x＜6}）$
从而f'（x）=12x²-112x+240=4（3x-10）（x-6）（2＜x＜6）…（8分）
令f'（x）=0，得$x=\frac{10}{3}$，且在$（{2，\frac{10}{3}}）$上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
在$（{\frac{10}{3}，6}）$上，f'（x）＜0，函数f（x）递减，…（10分）
所以$x=\frac{10}{3}$是函数f（x）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，…（11分）
所以当$x=\frac{10}{3}≈3.3$时，函数f（x）取得最大值．
故当销售价格为3.3元/件时，利润最大…（12分）

点评 本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，求出利润的函数式和正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．