Question

（理科）2013年将举办的第十二届中国•东海国际水晶节，主题为“水晶之都•福如东海”，于9月28日在国内唯一水晶博物馆正式开幕．为方便顾客，在休息区200m²的矩形区域内布置了如图所示的休闲区域（阴影部分），已知下方是两个相同的矩形．在休闲区域四周各留下1m宽的小路，若上面矩形部分与下方矩形部分高度之比为1：2．问如何设计休息区域，可使总休闲区域面积最大．

Answer 1

分析：设整个休息区域的宽为xm，建立休闲区域面积对应的函数关系式，利用基本不等式进行求解即可．

解答：解：设整个休息区域的宽为xm，则高为

200

x

m．
下方矩形宽为

x-3

2

，高为(

200

x

-3)×

2

3

=

400

3x

-2；
上方矩形宽为x-2，高为(

200

x

-3)×

1

3

=

200

3x

-1．        
则休闲区域面积y=2×

x-3

2

×(

400

3x

-2)+(x-2)×(

200

3x

-1)=208-(

1600

3x

+3x)≤208-2

1600 3x ×3x

=128m²．       
当且仅当

1600

3x

=3x，即x=

40

3

m时，上式取等号．
答：当矩形的宽为

40

3

m，高为15m时，休闲区域面积最大．

点评：本题主要考查函数的应用题，利用基本不等式进行求解是解决本题的关键．考查学生的运算能力．