题目内容
5．
某市交管部门对一路段限速60km/h，为调查违章情况，对经过该路段的300辆汽车进行检测，将所得数据按[40，50），[50.60），[60，70），[70，80）（所有车辆的车速均在[40，80]内）分成四组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）若用分层抽样的方法，从这300辆车中抽取20辆，则违章车有多少辆？其中多少辆车的车速不低于70km/h？
（2）用此次检测结果估计全市车辆的违章情况，若随机抽取3辆车．
（i）求这3辆车中违章车辆数ξ的分布列及期望；
（ii）假如这3辆车都是违章车辆，从中随机抽取1辆，求其车速不低于70km．h的概率．
分析 （1）由频率分布直方图知求出不违章车的频率为0.8，违章车的频率为0.2，由此能求出结果．
（2）（i）用此次检测结果估计全市车辆违章情况，则每辆车违章的概率为0.2，由已知得随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，0.2），由此能求出这3辆车中违章车辆数ξ的分布列及期望．
（ii）由已知，每辆车违章的概率为0.2，而车速不低于70km/h的概率为0.005，由条件概率计算公式能求出结果．
解答 解：（1）由频率分布直方图知，不违章车的频率为：（0.035+0.045）×10=0.8，
违章车的频率为：（0.005+0.015）×10=0.2，
∴此次检测不违章车有300×0.8=240辆，违章车有300×0.2=60辆，
按分层抽样的方法从中抽取20辆，则违章车有：20×0.2=4辆，
其中车速不低于70km/h的有20×0.005×10=1辆．
（2）（i）用此次检测结果估计全市车辆违章情况，则每辆车违章的概率为0.2，
由已知得随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，0.2），
P（ξ=0）=0.83=0.512，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}0.2•0．{8}^{2}$=0.384，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}0．{2}^{2}•0.8=0.096$，
P（ξ=3）=0.23=0.008，
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.512 | 0.384 | 0.096 | 0.008 |
（ii）由已知，每辆车违章的概率为0.2，而车速不低于70km/h的概率为0.005，
∴由条件概率计算公式得假如这3辆车都是违章车辆，从中随机抽取1辆，其车速不低于70km/h的概率：
p=$\frac{0.05}{0.2}=0.25$．
点评 本题考查频率分布直方图、分层抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、条件概率等知识，考查学生的阅读理解能力、识图能力及分析问题、解决问题的能力．
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