Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点A₁在底面ABC上的射影O是AC的中点，BC⊥AC，四边形BCC₁B₁是菱形，直线AB与平面ACC₁A₁所成的角为45°．
（1）求证：A₁B⊥AC₁；
（2）求二面角A-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AB中点D，由已知得A₁O⊥平面ABC，OD⊥AC，以O为原点，OD为x轴，OC为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，由

A1B

•

AC1

=0，利用向量法能证明A₁B⊥AC₁．
（2）求出平面ABB₁的法向量和平面BB₁C的法向量，利用向量法能求出二面角A-BB₁-C的余弦值．

解答： （1）证明：取AB中点D，
∵BC⊥AC，点A₁在底面ABC上的射影O是AC的中点，
∴A₁O⊥平面ABC，OD⊥AC，
以O为原点，OD为x轴，OC为y轴，OA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵四边形BCC₁B₁是菱形，直线AB与平面ACC₁A₁所成的角为45°，
∴设AC=BC=AA₁=2，则AB=2

2

，
则A₁（0，0，

3

），B（2，1，0），A（0，-1，0），C₁（0，2，

3

），

A1B

=（2，1，-

3

），

A C   1

=（0，3，

3

），
∴

A1B

•

AC1

=0+3-3=0，
∴A₁B⊥AC₁．
（2）解：A（0，-1，0），B（2，1，0），B₁（2，1，

3

），C（0，2，0），

BB1

=（0，0，

3

），

BA

=（-2，-2，0），

BC

=（-2，1，0），
设平面ABB₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BA =-2x-2y=0 n • BB1 = 3 z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，0），
设平面BB₁C的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • BC =-2a+b=0 m • BB1 = 3 c=0

，取a=1，得

m

=（1，2，0），
设二面角A-BB₁-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

2 × 5

=

10

10

．
∴二面角A-BB₁-C的余弦值为

10

10

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，空间向量、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．