Question

9．已知函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-16}$的定义域为集合A，函数g（x）=x²-2x+a，x∈[0，4]的值域为集合B，若A∪B=R，求实数a取值范围．

Answer 1

分析 由题意求解集合A和集合B，根据A∪B=R，建立关系求实数a取值范围．

解答 解：由题意：函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-16}$的定义域需满足：x²-16≥0，
解得：x≤-4或x≥4，
∴集合A={x|x≤-4或x≥4}，
函数g（x）=x²-2x+a=（x-1）²+a-1
∵x∈[0，4]
当x=1时，函数g（x）取得最小值为a-1；
当x=4时，函数g（x）取得最大值为a+8；
∴函数g（x）值域为[a-1，a+8]
∴集合B=[a-1，a+8]
∵A∪B=R，
∴需满足：$\left\{\begin{array}{l}{a-1≤-4}\\{a+8≥4}\end{array}\right.$
解得：-4≤a≤-3
故得实数a的取值范围为[-4，-3]．

点评 本题考查了函数的定义域和值域的求法和集合的基本运算．属于基础题．