Question

已知不等式[log₂n]，其中n为大于2的整数，[log₂n]表示不超过log₂n的最大整数。设数列{a_n}的各项为正，且满足a₁=b（b＞0），a_n≤，n=2，3，4，…
（Ⅰ）证明a_n＜，n=3，4，5，…
（Ⅱ）猜测数列{a_n}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n＞N时，对任意b＞0，都有a_n＜。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵当n≥2时，，
∴，即，
于是有，
所有不等式两边相加可得，
由已知不等式知，当n≥3时有，，
∵，
∴，。
 （Ⅱ）有极限，且；
（Ⅲ）∵，令，
则有，
故取N=1024，可使当n＞N时，都有。