Question

18．设函数f（x）=（x-1）²-alnx，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y-1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得a的值；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，讨论a≤-$\frac{1}{2}$，a=0，a＞0，当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，解不等式可得单调增区间．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x-1）²-alnx的导数为f′（x）=2（x-1）-$\frac{a}{x}$，
在点（1，f（1））处的切线斜率为k=-a，
由切线与直线x+2y-1=0垂直，可得-a=-$\frac{1}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=2（x-1）-$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-2x-a}{x}$，
令z=2x²-2x-a，若△≤0，即有4+8a≤0，解得a≤-$\frac{1}{2}$，
则f（x）在（0，+∞）递增；
若△＞0，即a＞-$\frac{1}{2}$，
当a=0时，由f′（x）＞0可得x＞1；
当a＞0时，$\frac{1+\sqrt{1+2a}}{2}$＞0，$\frac{1-\sqrt{1+2a}}{2}$＜0，
由f′（x）＞0可得x＞$\frac{1+\sqrt{1+2a}}{2}$；
当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，$\frac{1+\sqrt{1+2a}}{2}$＞0，$\frac{1-\sqrt{1+2a}}{2}$＞0，
由f′（x）＞0可得$\frac{1-\sqrt{1+2a}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1+2a}}{2}$．
综上可得，当a≤-$\frac{1}{2}$时，f（x）的增区间为（0，+∞）；
当a=0时，f（x）的增区间为（1，+∞）；
当a＞0时，f（x）的增区间为（$\frac{1+\sqrt{1+2a}}{2}$，+∞）；
当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，f（x）的增区间为（$\frac{1-\sqrt{1+2a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1+2a}}{2}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．