Question

19．已知f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+6}$．
（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜-3或x＞-2}，求k的值；
（2）若对任意x＜0，f（x）≥t恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）得到-3，-2是方程$\frac{2x}{{x}^{2}+6}$-k=0的根，将x=-2或-3代入方程求出k的值即可；
（2）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而求出k的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+6}$，若f（x）＞k的解集为{x|x＜-3或x＞-2}，
则-3，-2是方程$\frac{2x}{{x}^{2}+6}$-k=0的根，
解得：k=-$\frac{2}{5}$；
（2）若对任意x＜0，f（x）≥t恒成立，
即若对任意x＜0，f（x）_min≥t，f′（x）=$\frac{-{2x}^{2}+12}{{{（x}^{2}+6）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：-$\sqrt{6}$＜x＜0，
令f′（x）＜0，解得：x＜-$\sqrt{6}$，
故f（x）在（-∞，-$\sqrt{6}$）递减，在（-$\sqrt{6}$，0）递增，
∴f（x）_min=f（-$\sqrt{6}$）=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴t≤-$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式问题，是一道中档题．