Question

15．如图所示，圆O是△ABC的外接圆，BA=m，BC=$\frac{4}{m}$，∠ABC=60°，若$\overrightarrow{BO}=x\overrightarrow{BA}$+y$\overrightarrow{BC}$，则x+y的最大值是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 O是外心，作图辅助，从而可得m²x+ym•$\frac{4}{m}$•cos60°=m²x++2y=$\frac{1}{2}$m²，2x+$\frac{16}{{m}^{2}}$y=$\frac{8}{{m}^{2}}$；从而可得x+y=$\frac{2{m}^{2}-4}{3{m}^{2}}$+$\frac{8-{m}^{2}}{12}$，从而化简利用基本不等式求最大值．

解答 解：∵O是外心，如图，
∴BE=BOcosθ=$\frac{1}{2}$m，
∴$\overrightarrow{BO}$•$\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BO}$|•|$\overrightarrow{BA}$|cosθ=$\frac{1}{2}$m²，
同理，$\overrightarrow{BO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{8}{{m}^{2}}$，
又∵$\overrightarrow{BO}$•$\overrightarrow{BA}$=x|$\overrightarrow{BA}$|²+y$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=m²x+ym•$\frac{4}{m}$•cos60°=m²x++2y=$\frac{1}{2}$m²，
$\overrightarrow{BO}$•$\overrightarrow{BC}$=x$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+y|$\overrightarrow{BC}$|²=2x+$\frac{16}{{m}^{2}}$y=$\frac{8}{{m}^{2}}$；
联立方程解得，
12y=8-m²，
∴x=$\frac{2{m}^{2}-4}{3{m}^{2}}$，y=$\frac{8-{m}^{2}}{12}$，
故x+y=$\frac{2{m}^{2}-4}{3{m}^{2}}$+$\frac{8-{m}^{2}}{12}$
=$\frac{4}{3}$-（$\frac{4}{3{m}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}}{12}$）
≤$\frac{4}{3}$-2×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
（当且仅当m=2时，等号成立）；
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了平面向量与三角形的综合应用及数形结合的思想应用，同时考查了基本不等式的应用．