Question

已知数列满足：，.数列的前项和为，.

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）设，.求数列的前项和.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，再由递推关系求数列的通项公式，常用方法有：一是求出数列的前几项，再归纳总结出数列的一个通项公式；二是将已知递推关系式整理、变形，变成等差数列或者等比数列，或用累加法，累乘法，迭代法求通项.（2）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；（3）一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解

试题解析：（Ⅰ）由得，又，

所以是以1为首项，为公差的等差数列，则，.

当时，

当时，，

，

又时，所以，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以.

所以 （1）

等式两边同乘以得

（2）

（1）-（2）得

所以

.

考点：（1）由前项和求通项公式；（2）错位相减法求数列的和