题目内容
5．
如图，一个底面半径为R的圆柱被与底面成30°二面角的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距是（ ）| A． | R | B． | 2R | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$R | D． | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$R |
分析 根据圆柱的直径算出椭圆的短轴长，再由二面角的平面角等于30°，利用三角函数定义可算出椭圆的长轴．由此再结合椭圆基本量间的关系，不难算出此椭圆的焦距．
解答 解：∵圆柱的底面半径为R，∴椭圆的短轴b=R．
又∵椭圆所在平面与圆柱底面所成角为30°
∴cos30°=$\frac{R}{a}$，可得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R
根据椭圆基本量间的关系，得c=$\sqrt{\frac{12}{9}{R}^{2}-{R}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，
得椭圆的焦距为2c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R．
故选：D．
点评 本题以一个平面截圆柱，求截得椭圆的焦距，着重考查了平面与平面所成角的含义和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．
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