Question

8．如图所示，AB是圆O的直径，PC是圆O的一条割线，且交圆O于C、D两点，AB⊥PC，PE是圆O的一条切线，切点为E，AB与BE分别交PC于M、F两点．
（1）证明：△PEF为等腰三角形；
（2）若PF=5，PD=3，求DC的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OE，利用切线的性质可得：OE⊥PE，又AB⊥CD，可得∠B+∠BFM=90°，又∠B=∠FEO，∠BFM=∠PFE，可得∠PEF=∠PFE，即可证明．
（2）由切割线定理可得：PE²=PD•PC，PE=PF，即可得出．

解答 （1）证明：连接OE，∵PE是圆O的一条切线，切点为E，∴OE⊥PE，
∴∠PEF+∠FEO=90°，
又∵AB⊥CD，∴∠B+∠BFM=90°，
又∵∠B=∠FEO，∴∠BFM=∠PEF，
又∵∠BFM=∠PFE，∴∠PEF=∠PFE，∴PE=PF．
∴△PEF为等腰三角形．
（2）解：由切割线定理可得：PE²=PD•PC，PE=PF=5，
∴PC=$\frac{{5}^{2}}{3}$=$\frac{25}{3}$．
∴DC=PC-PD=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、等腰三角形的性质、对顶角的性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．