Question

7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．
（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；
（2）若∠PAB=35°，求证：$\frac{D{A}^{2}}{A{P}^{2}}$=$\frac{DC}{PC}$．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理得∠ACB=∠PAB=25°，从而∠ABC=65°，由此利用四边形ABCD内接于⊙O，能求出∠D．
（2）由∠DAE=25°，∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，从而△ADC∽△PBA，由此能证明DA²=DC•BP，AP²=PC•BP，即可证明结论．

解答 （1）解：∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=35°，
又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=55°．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，
∴∠D=112°．
（2）证明：∵∠DAE=35°，
∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，
∴△ADC∽△ABP，
∴$\frac{DA}{BP}$=$\frac{DC}{BA}$，∠DBA=∠BDA，
∴DA=BA，∴DA²=DC•BP，AP²=PC•BP，
∴$\frac{D{A}^{2}}{A{P}^{2}}$=$\frac{DC}{PC}$．

点评 本题考查角的大小的求法，考查三角形相似的判定与性质，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．