Question

在三棱锥S-ABC中，AB=BC=

2

，SA=SC=AC=2，二面角S-AC-B的余弦值是 

3

3

，则三棱锥S-ABC外接球的表面积是（　　）

• A、

  3

  2

  π
• B、2π
• C、

  6

  π
• D、6π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：审题后，二面角S-AC-B的余弦值是

3

3

是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．

解答： 解：如图所示：
取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，
∴∠SDB为S-AC-B的平面角，且AC⊥面SBD．
∵AB=BC=

2

，AC=2，易得：△ABC为等腰直角三角形，
又∵BD⊥AC，故BD=AD=

1

2

AC，
在△SBD中，BD=

1

2

AC=

1

2

×2=1，
在△SAC中，SD²=SA²-AD²=2²-1²=3，
在△SBD中，由余弦定理得SB²=SD²+BD²-2SD•BDcos∠SDB=3+1-2×

3

×1×

3

3

=2，
满足SB²=SD²-BD²，
∴∠SBD=90°，SB⊥BD，
又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．
以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为

2

的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，
正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=

3

×

2

，R=

6

2

，
∴球的表面积S=4π×（

6

2

）²=6π．
故选：D

点评：本题考查面面角，考查球的表面积，解题的关键是确定外接圆的半径，属于中档题．