Question

15．若定义在R上的单调减函数f（x）满足：f（a-2sinx）≤f（cos²x）对一切实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围是${\;}_{\;}^{\;}a≥2{\;}_{\;}^{\;}$．

Answer 1

分析 若f（a-2sinx）≤f（cos²x）对一切实数x∈R恒成立，则a≥cos²x+2sinx=1-sin²x+2sinx对一切实数x∈R恒成立，求出1-sin²x+2sinx的最大值，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的单调减函数，
若f（a-2sinx）≤f（cos²x）对一切实数x∈R恒成立，
则a-2sinx≥cos²x对一切实数x∈R恒成立，
即a≥cos²x+2sinx=1-sin²x+2sinx对一切实数x∈R恒成立，
令t=sinx，y=-t²+2t+1，t∈[-1，1]，
故t=1时，y取最大值2，
故${\;}_{\;}^{\;}a≥2{\;}_{\;}^{\;}$；
故答案为：${\;}_{\;}^{\;}a≥2{\;}_{\;}^{\;}$

点评 本题考查的知识点是函数恒成立，换元法，函数的最值，函数的单调性，难度中档．