Question

7．已知等差数列{a_n}满足：a₂+a₄=6，a₆=S₃，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若k∈N^*，{b_n}为等比数列且b₁=a_k，b₂=a_3k，b₃=S_2k，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（II）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由条件得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+d+{a_1}+3d=6\\{a_1}+5d=3{a_1}+3d\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=1\end{array}\right.⇒{a_n}=n$．
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）易得${S_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，∵$a_{3k}^2={a_k}•{S_{2k}}$，
得9k²=k×k（2k+1）解得k=4．
b₁=a_k=4，b₂=a_3k=12，b₃=S_2k=36，
∵{b_n}为等比数列，∴${b_n}=4•{3^{n-1}}$．
${a_n}•{b_n}=4n•{3^{n-1}}$，
$\begin{array}{l}{T_n}=4+4•2•3+4•3•{3^2}+…+4n•{3^{n-1}}，（1）\\ 3{T_n}=4•3+4•2•{3^2}+4•3•{3^3}+…+4n•{3^n}，（2）\end{array}$
（1）-（2）得$-2{T_n}=4+4•3+4•{3^2}+4•{3^3}+…+4•{3^{n-1}}-4n•{3^n}=\frac{{4（1-{3^n}）}}{1-3}-4n•{3^n}$，
∴${T_n}=（2n-1）•{3^n}+1$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．