Question

过点（0，-1）的直线l与两曲线y=lnx和x²=2py均相切，则p的值为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、2
• D、4

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：分别设出两切点，再求出两函数的导数，并用两种形式写出切线的斜率，再结合两点的斜率公式，列方程解出x₁，x₂，从而求出p的值．

解答：解：设直线l与两曲线y=lnx和x²=2py相切的切点分别是A（x₁，lnx₁），B（x₂，

x22

2p

），
∵y=lnx的导数为y′=

1

x

，x²=2py即y=

x2

2p

的导数为y′=

x

p

，
∴直线l的斜率为

1

x1

=

x2

p

，
又直线l过（0，-1），
∴直线l的斜率且为

lnx1+1

x1

=

x22 2p +1

x2

，
∴x₁=1，x₂=p，

p2

2p

+1=p，
∴p=2．
故选C．

点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，抓住在某点处的导数即为在这点处切线的斜率，同时注意运用两点的斜率公式，是一道中档题．