Question

17．已知函数f（x）=e^x-ax-1-$\frac{{x}^{2}}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）若a=$\frac{1}{2}$，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，得到f′（x）递增，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出a的具体范围即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）={e^x}-x-\frac{1}{2}$，
令g（x）=f'（x），则g'（x）=e^x-1，
则当x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0，则f'（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，则f'（x）单调递增，
所以有$f'（x）≥f'（0）=\frac{1}{2}＞0$，
所以f（x）在（-∞，+∞）上递增．
（Ⅱ）当x≥0时，f'（x）=e^x-x-a，令g（x）=f'（x），
则g'（x）=e^x-1≥0，则f'（x）单调递增，
f'（x）≥f'（0）=1-a；
当a≤1即f'（x）≥f'（0）=1-a≥0时，
f（x）在（0，+∞）上递增，f（x）≥f（0）=0成立；
当a＞1时，存在x₀∈（0，+∞），使f'（x₀）=0，
则f（x）在（0，x₀）上递减，
则当x∈（0，a）时，f（x）＜f（0）=0，不合题意，
综上：a≤1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．