Question

已知椭圆C：M：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），使得△OPQ的面积S_△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用椭圆的离心率e=，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16，求出几何量，即可得到椭圆M的方程；
（Ⅱ）利用S_△OPQ=4，可得点Q在与直线OP平行且距离为2的直线l上，确定直线方程与椭圆方程联立，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，由题意可知道：
，解得…（3分）
又因为a²=b²+c²，所以
所以椭圆的方程为…（6分）
（Ⅱ）依题意，直线OP的方程为y=x，…（7分）
因为S_△OPQ=4，所以Q到直线OP的距离为2，…（8分）
所以点Q在与直线OP平行且距离为2的直线l上，
设l：y=x+m，则，解得m=±4  …（10分）
当m=4时，由，
消元得41x²+200x＜0，即 …（12分）
又x∈Z，所以x=-4，-3，-2，-1，相应的y也是整数，此时满足条件的点Q有4个．
当m=-4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q有4个．…（13分）
综上，存在满足条件的点Q，这样的点有8个．…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．