Question

2．已知过定点M（-3，-3）的直线l与圆x²+y²+4x-21=0交于A、B两点
（1）当弦AB的长最短时，求直线l的方程；
（2）当弦AB的长为4$\sqrt{5}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）因为弦AB的长最短时，CM⊥AB，k_CM=$\frac{1}{3}$，所以k_AB=-3，即可求直线l的方程．
（2）若|AB|=4$\sqrt{5}$，求出圆心到弦的距离，利用勾股定理，求出k，即可求直线l的方程；

解答 解：（1）圆x²+y²+4y-21=0即x²+（y+2）²=25
即圆心坐标为C（0，-2），半径为r=5，
因为弦AB的长最短时，CM⊥AB，k_CM=$\frac{1}{3}$，所以k_AB=-3，
所以直线l的方程为y+3=-3（x+3），即3x+y+12=0．
（2）设直线方程为y+3=k（x+3），化简得kx-y-3+3k=0
圆心到弦的距离为$\frac{|-1+3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
直线l被圆x²+y²+4y-21=0所截得的弦长为4$\sqrt{5}$，
所以（2$\sqrt{5}$）²+（$\frac{|-1+3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$）²=5²，解得k=2或k=-$\frac{1}{2}$
所以直线方程为2x-y+3=0或x+2y+9=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．