题目内容

15．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC，点E是BC上一点，且平面BB1C1C⊥平面AEB1．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）求证：A1C∥平面AEB1．

分析 （1）取BC的中点F，则AF⊥BC，证明E，F重合，即可证明：AE⊥BC；
（2）由（1）可知E是BC的中点，连接A1B，A1B∩AB1=O，则OE∥A1C，利用线面平行的判定定理证明：A1C∥平面AEB1．

解答 证明：（1）取BC的中点F，则AF⊥BC，
∵AF⊥BB1，BC∩BB1=B，
∴AF⊥平面BB1C1C，
∵AF?平面AFB1，
∴平面BB1C1C⊥平面AFB1，
∵平面BB1C1C⊥平面AEB1，∴E，F重合，
∴AE⊥BC；
（2）由（1）可知E是BC的中点，连接A1B，A1B∩AB1=O，
则OE∥A1C，
∵A1C?平面AEB1，OE?平面AEB1，
∴A1C∥平面AEB1．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案
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C．x2=$\frac{4}{3}$y 或 y2=-$\frac{9}{2}$xD．y2=-$\frac{9}{2}$x

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