题目内容

20．在y=3x，y=log0.3x，y=x3，y=$\sqrt{x}$，这四个函数中当0＜x1＜x2＜1时，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立的函数的个数是（　　）
A．0B．1C．2D．3

分析 由题意，根据条件0＜x1＜x2＜1时，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立得出满足条件的函数的性质，再对照四个函数的性质即可找出满足条件的函数的个数．

解答 解：当0＜x1＜x2＜1时，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立，从图象上看，是图象上任意两点的连线的中点的函数值在两点的中点的函数值的曲线的上方．满足这样的函数称作凹函数．
考查四个函数y=3x，y=log0.3x，y=x3，y=$\sqrt{x}$的图象可得，y=$\sqrt{x}$在（0，1）符合任意两点间的曲线在两点间线段的上方，是凸函数；而y=2x，y=x3，y=log0.3x这3个函数都是凹函数，符合题意．
综上分析知，满足条件的函数有3个．
故选：C．

点评 本题考查函数单调性的性质，解答的关键是理解四个函数的性质及对题设中条件“当0＜x1＜x2＜1时，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立”的转化，本题考查了转化的思想，本题需要研究函数变化率的变化规律，有一定的难度．

练习册系列答案
相关题目
10．函数y=ax-2-1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（2，0）．
11．已知函数f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$是定义在（-1，1）上的函数．
（1）利用奇偶性的定义，判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数．（提示：-1＜x1x2＜1）
8．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1（-2，0）、F2（2，0）点P（$\sqrt{3}$，1）在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点Q （0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2$\sqrt{2}$，求直线l的方程．
15．已知函数f（x）=$\frac{1}{x^2}$+alnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）已知不等式f（x）＞0在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．
5．已知函数f（x）=（$\frac{1}{4}$）x-（$\frac{1}{2}$）x-1-a，（a∈R）；
（1）若f（x）有零点，求实数a的取值范围
（2）当f（x）有零点时，讨论f（x）有零点的个数，并求出f（x）的零点．
12．函数f（x）=3${\;}^{{x}^{2}}$的值域为（　　）
A．[0，+∞）B．（-∞，0]C．[1，+∞）D．（-∞，+∞）
9．设函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则z=$\frac{2}{a}$+$\frac{5}{b}$的最小值是（　　）
A．$\sqrt{10}$B．2$\sqrt{2}$C．2$\sqrt{10}$D．2
10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的右顶点为A，点P在椭圆上，且PF1⊥x轴，直线AP交y轴于点Q，若$\overrightarrow{AQ}$=3$\overrightarrow{QP}$，则椭圆的离心率等于（　　）
A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{1}{3}$C．$\frac{\sqrt{2}}{2}$D．$\frac{\sqrt{2}}{3}$

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网