Question

8．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，DC=2AB，设Q为棱PC上一点，$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{PC}$
（1）求证：当λ=$\frac{1}{2}$时，BQ∥平面PAD；
（2）若PD=1，BC=$\sqrt{2}$，BC⊥BD，试确定λ的值使得二面角Q-BD-P的平面角为45°．

Answer 1

分析 （1）设PD的中点为F，连接qF，证明四边形FABq是平行四边形．利用直线与平面平行的判定定理证明Bq∥平面PAD．
（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面PBD的法向量．平面QBD的法向量，通过二面角结合数量积求解λ即可．

解答 （1）证明：设PD的中点为F，连接F，
∵点Q，F分别是△PCD的中点，
∴QF∥CD，且QF=$\frac{1}{2}$CD，
∴QF∥AB，且QF=AB，
∴四边形FABQ是平行四边形．
∴BQ∥AF，又AF?平面PAD，BQ?平面PAD，
∴BQ∥平面PAD．
（2）解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），C（0，2，0），A（1，0，0），B（1，1，0）．
令Q（x₀，y₀，z₀），∵$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{PC}$∴，Q（0，2λ，1-λ），
∵BC⊥平面PBD，
∴平面PBD的法向量为$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0）．
设平面QBD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=-y}\\{z=\frac{2λ}{λ-1}y}\end{array}\right.$．令y=1，得$\overrightarrow{m}$=（-1，1，$\frac{2λ}{λ-1}$）．
若二面角Q-BD-P为45°，
则$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{2+（\frac{2λ}{λ-1}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得λ=-1±$\sqrt{2}$，
∵Q在PC上，0＜λ＜1．∴$λ=\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求解与应用，考查空间想象能力以及计算能力．