Question

9．已知圆O₁：（x+1）²+y²=1，圆O₂：（x-1）²+y²=9，动圆P与圆O₁外切且与圆O₂内切，圆心P的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）过O₂的直线l交E于A，C两点，设△O₁AO₂，△O₁CO₂的面积分别为S₁，S₂，若S₁=2S₂，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由于圆O₁：（x+1）²+y²=1，圆O₂：（x-1）²+y²=9，动圆P分别与圆O₁相外切，与圆O₂相内切．故可知动点P到两个定点O₁（-1，0）、O₂（1，0）的距离之和为4，从而轨迹是椭圆，故可求方程；
（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=ty+1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由面积关系得到A、C两点的纵坐标得关系，则t可求，直线的斜率可求．

解答 解：（1）设P（x，y），动圆P的半径为r（r＞0），
则由题意知|PO₁|=1+r，|PO₂|=3-r，
←于是|PO₁|+|PO₂|=4，即动点P到两个定点O₁（-1，0）、O₂（1，0）的距离之和为4．
又∵4=|PO₁|+|PO₂|＞|O₁O₂|=2，
∴点P在以两定点O₁（-1，0）、O₂（1，0）为焦点，4为长轴长的椭圆上．
设此椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）
由a=2，c=1，得b²=a²-c²=3．
因此，动圆圆心P所在的曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）如图，由题意可知，直线l的斜率存在且不为0．
设直线l的方程为x=ty+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0．
解得：${y}_{A}=\frac{-3-6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}，{y}_{B}=\frac{-3+6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，
由S₁=2S₂，得$\frac{3+6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}=2\frac{-3+6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，解得$t=\frac{\sqrt{5}}{2}$（舍去）或$t=-\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴直线l的斜率k=$\frac{1}{t}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查椭圆的方程以及直线和椭圆的位置关系的应用，考查学生的运算能力．综合性较强，属中档题．