Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1，n=1，2，3，…．

（Ⅰ）求a1，a2；

（Ⅱ）{an}的通项公式．

 

Answer 1

（Ⅰ）a1=；a2=．（Ⅱ）an=，n=1，2，3，…．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）分别取n=1，n=2，根据方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1，即可求得a1，a2；

（Ⅱ）由题设（Sn﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，即Sn2﹣2Sn+1﹣anSn=0，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0，通过计算猜想Sn=，n=1，2，3，…．再用数学归纳法证明这个结论，进而利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=，n=1时，a1==，即可求得{an}的通项公式．

【解析】
（Ⅰ）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，

于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．

当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，

于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．

（Ⅱ）由题设（Sn﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，

即Sn2﹣2Sn+1﹣anSn=0．

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，代入上式得

Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0 ①

由（Ⅰ）知S1=a1=，S2=a1+a2=+=．

由①可得S3=．

由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．

下面用数学归纳法证明这个结论．

（i）n=1时已知结论成立．

（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，

当n=k+1时，由①得Sk+1=，即Sk+1=，

故n=k+1时结论也成立．

综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．

于是当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=，

又n=1时，a1==，所以{an}的通项公式an=，n=1，2，3，…．