Question

6．已知$f（x）=x+\frac{1}{x}$
（1）求函数在$x=\frac{1}{2}$处的切线方程．
（2）求函数在x=x₀处的切线与直线y=x和y轴围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求出切线的斜率，由点斜式方程，即可得到函数在$x=\frac{1}{2}$处的切线方程；
（2）求函数在x=x₀处的切线；令y=x可得x=y=2x₀，令x=0可得y=$\frac{2}{{x}_{0}}$，即可求函数在x=x₀处的切线与直线y=x和y轴围成的三角形的面积．

解答 解：（1）函数的导数为f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，所以f′（$\frac{1}{2}$）=1-4=-3，即k=-3，
又f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，所以切线方程为y-$\frac{5}{2}$=-3（x-$\frac{1}{2}$），即3x+y-4=0．
（2）可得在x=x₀处的切线斜率为f′（x₀）=1-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
故此处切线方程为：y-（${x}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}$）=（1-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$）（x-x₀），
令y=x可得x=y=2x₀，令x=0可得y=$\frac{2}{{x}_{0}}$，
故三角形的面积为S=$\frac{1}{2}$×|$\frac{2}{{x}_{0}}$|×|2x₀|=2．

点评 本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于中档题．