Question

9．已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x+2y-1=0．
（1）求直线l的方程；
（2）若一束光线自点A（2，1）射向直线l，反射光线恰好过原点，求反射光线所在直线方程．

Answer 1

分析 （1）联立方程，求出点P的坐标，利用所求直线l与x+2y-1=0垂直，可设直线l的方程为2x-y+C=0，代入P的坐标，可求直线l的方程；
（2）根据反射的规律，A关于l的对称点为A′在反射光线所在直线上，由A′、B两点的坐标求出反射光线所在直线 A′B的方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y-2=0}\\{2x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标是（-2，2），
∵所求直线l与x+2y-1=0垂直，
∴可设直线l的方程为2x-y+C=0，
把点P的坐标代入得2×（-2）-2+C=0，即C=6，
∴所求直线l的方程为2x-y+6=0；
（2）如图示：
，
一束光线AB自点A（2，1）射向直线l交l于B，自B点射出，反射光线恰好过原点，即BO，
作A关于l的对称点A′，设A′（a，b），则AA′的中点C在l上，
由根据反射的规律得：∠1=∠2，
根据对称性得：∠2=∠3，
∴∠1=∠3，∴A′，B，原点O三点共线，A′O即反射光线所在直线，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+1}{2}=a+2+6}\\{\frac{b-1}{a-2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{26}{5}}\\{b=\frac{23}{5}}\end{array}\right.$，
∴A′O的斜率k=$\frac{\frac{23}{5}}{-\frac{26}{5}}$=-$\frac{23}{26}$，
故反射光线A′O所在的直线是：y=-$\frac{23}{26}$x．

点评 本题考查直线的位置关系，考查求一个点关于一条直线的对称点的坐标的方法，以及用两点式求直线方程的方法，体现了数形结合的数学思想．