Question

2．已知函数$f（x）=\frac{2x+1}{x+1}$
（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论
（2）求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性的定义来证明函数的单调性；
（2）根据函数的单调性来求函数在给定区间上的最值问题．

解答 解：（1）f（x）在（-1，+∞）上为增函数，证明如下：
任取-1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2{x}_{1}+1}{{x}_{1}+1}$-$\frac{2{x}_{2}+1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$；
∵-1＜x₁＜x₂⇒x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0⇒f（x₁）＜f（x₂）；
所以，f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
（2）：由（1）知 f（x）[2，4]上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（2）=$\frac{2×2+1}{2+1}$=$\frac{5}{3}$，
最大值f（4）=$\frac{2×4+1}{4+1}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题主要考查了函数单调性的定义、函数的最值问题，属于基础题．