Question

2．设数列{a_n}的前n项和为S_n，关于数列{a_n}，下列命题正确的序号是①②．
①若数列{a_n}既是等差数列又是等比数列，则a_n=a_n+1；
②若${S_n}=a{n^2}+bn（{a，b∈R}）$，则数列{a_n}是等差数列；
③若${S_n}=1+{（{-1}）^n}$，则数列{a_n}是等比数列．

Answer 1

分析 ①任取数列{a_n}中相邻的三项，利用等差中项、等比中项化简即得结论；②通过${S_n}=a{n^2}+bn（{a，b∈R}）$与S_n-1=a（n-1）²+b（n-1）作差、整理即得结论；③通过令n=1可知首项a₁=0，从而可得结论．

解答 解：①∵数列{a_n}既是等差数列又是等比数列，
∴2a_n+1=a_n+a_n+2，且${{a}_{n+1}}^{2}$=a_n•a_n+2，
即a_n•a_n+2=$（\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}）^{2}$，即$（{a}_{n}-{a}_{n+2}）^{2}$=0，
∴a_n=a_n+2，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2）=a_n，
∴a_n=a_n+1，即①正确；
②∵${S_n}=a{n^2}+bn（{a，b∈R}）$，
∴当n≥2时，S_n-1=a（n-1）²+b（n-1），
两式相减得：a_n=2an+b-a，
又∵a₁=S₁=a+b满足上式，
∴a_n=2an+b-a，即数列{a_n}是等差数列，故②正确；
③若${S_n}=1+{（{-1}）^n}$，则a₁=0，
而等比数列中不存在为0的项，故数列{a_n}是等比数列，
于是③不正确；
综上所述，只有①②命题正确，
故答案为：①②．

点评 本题考查等比数列、等差数列的性质及判定，注意解题方法的积累，属于基础题．