Question

10．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，DD₁=1．
（1）求证：B₁D₁⊥平面C₁A₁AC；
（2）以D₁为坐标原点建立空间直角坐标系，点O（0，1，0）是圆的圆心，且圆的半径为1．
（I）过点C₁的直线与圆相切，切点为P，且P的横坐标x为正，与A₁D₁交与点N，求C₁N长度；
（Ⅱ）在（I）的条件下，圆上有一动点Q，求$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{CP}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）证明B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥CC₁，即可证明B₁D₁⊥平面C₁A₁AC；
（2）（I）由题意sin∠OC₁P=$\frac{1}{3}$，即可求C₁N长度；
（Ⅱ）由（I）可知C₁P=2$\sqrt{2}$，sin2∠OC₁P=2×$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，即可求$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{CP}$的取值范围．

解答 （1）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC，
∴B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥CC₁，
∵A₁C₁∩CC₁=C₁，
∴B₁D₁⊥平面C₁A₁AC；
（2）（I）解：由题意sin∠OC₁P=$\frac{1}{3}$，
∴cos∠OC₁P=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴C₁N=$\frac{2}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$；
（Ⅱ）由（I）可知C₁P=2$\sqrt{2}$，sin2∠OC₁P=2×$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴cos2∠OC₁P=$\frac{7}{9}$，
∴$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{CP}$的最小值为$\frac{56}{9}$，最大值为8，
∴$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{CP}$的取值范围是[$\frac{56}{9}$，8]．

点评 本题考查线面垂直，考查平面向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．