Question

3．已知双曲线x²+ny²=1（n∈R）与椭圆$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 根据题意，由椭圆的方程可得其椭圆的焦点坐标，再由双曲线的几何性质可得n＜0，且1+（-$\frac{1}{n}$）=4，解可得n的值，即可得双曲线的方程，由双曲线的几何性质，即可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，其焦点在x轴上，
且c=$\sqrt{6-2}$=2，即焦点在坐标为（±2，0），
若双曲线x²+ny²=1的焦点在坐标为（±2，0），
则有n＜0，且1+（-$\frac{1}{n}$）=4，
则n=-$\frac{1}{3}$，
则双曲线的标准方程为：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
则其渐近线方程为：y=±$\sqrt{3}$x；
故答案为：y=±$\sqrt{3}$x．

点评 本题考查椭圆、双曲线的几何性质，注意先求出椭圆的焦点．