Question

已知f(x)=

3+x

1+x2

，x∈[0，3]，已知数列{a_n}满足0＜a_n≤3，n∈N^*，且a₁+a₂+…+a₂₀₁₀=670，则f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₀）有（　　）

• A、最大值6030
• B、最大值6027
• C、最小值6027
• D、最小值6030

Answer 1

分析：由f(

1

3

) =3，知当a1=a2=…=a2010=

1

3

时，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₀）=6030．对于函数f(x)=

3+x

1+x2

，x∈[0，3]，k=f′(

1

3

) =-

9

16

，在x=

1

3

处的切线方程为y=

3

10

(11-x)，由此能导出f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₀）≤

3

10

[11×2010-3(a1+a2+…+a2010)]=6030．

解答：解：∵f(

1

3

) =3，当a1=a2=…=a2010=

1

3

时，
f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₀）=6030，
对于函数f(x)=

3+x

1+x2

，x∈[0，3]，k=f′(

1

3

) =-

9

16

，
在x=

1

3

处的切线方程为y-3=-

9

10

(x-

1

3

)，
即y=

3

10

(11-x)，
则f(x)=

3+x

1+x2

≤

3

10

(11-x)?(x-3)(x-

1

3

)  2≤0成立，
∴0＜a_n≤3，n∈N⁺时，有f(an)≤

3

10

(11-3a n)，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₀）≤

3

10

[11×2010-3(a1+a2+…+a2010)]=6030．
故选A．

点评：本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用导数的性质，恰当地进行等价转化．