Question

9．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=mcosθ（m＞0），过点P（-2，-4）且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l与曲线C相交于A，B两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若|AP|•|BP|=|BA|²，求m的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=mcosθ（m＞0），即ρ²sin²θ=mρcosθ（m＞0），利用互化公式可得直角坐标方程．过点P（-2，-4）且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．相减消去参数化为普通方程．
（2）把直线l的方程代入曲线C的方程为：t²-$\sqrt{2}$（m+8）t+4（m+8）=0．由于|AP|•|BP|=|BA|²，可得|t₁•t₂|=$（{t}_{1}-{t}_{2}）^{2}$，化为：5t₁•t₂=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$，利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=mcosθ（m＞0），即ρ²sin²θ=mρcosθ（m＞0），可得直角坐标方程：
y²=mx（m＞0）．
过点P（-2，-4）且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
消去参数化为普通方程：y=x-2．
（2）把直线l的方程代入曲线C的方程为：t²-$\sqrt{2}$（m+8）t+4（m+8）=0．
则t₁+t₂=$\sqrt{2}$（m+8），t₁•t₂=4（m+8）．
∵|AP|•|BP|=|BA|²，∴|t₁•t₂|=$（{t}_{1}-{t}_{2}）^{2}$，化为：5t₁•t₂=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$，
∴20（m+8）=2（m+8）²，m＞0，解得m=2．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．