Question

已知为函数图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率.

（I）若函数在区间上存在极值，求实数m的取值范围；

（II）当 时，不等式恒成立，求实数t的取值范围；

（III）求证.

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意， ……………………………………1分
所以    …………………………………………2分

当时，；当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减.

故在处取得极大值.       …………………………………………3分

因为函数在区间（其中）上存在极值，

所以得.

即实数的取值范围是.       …………………………………………4分

（Ⅱ）由得

令

则.        ……………………………………………………6分

令            则

因为所以,故在上单调递增.……………………7分

所以,从而

在上单调递增,

所以实数的取值范围是.     …………………………………………9分

（Ⅲ）由(Ⅱ) 知恒成立,

    即   ……………………10分

令则

所以,     

,  

……,

.

所以

                  ………………………………12分

所以

所以.