Question

13．[示范高中]设x，y满足的约束条件为$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=4ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a²+b²的最小值为2．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用目标函数z=4ax+by（a＞0，b＞0）的最大值是8，确定a，b之间的关系，利用目标函数的几何意义确定函数的最小值．

解答 解：作出不等式对应的平面区域如图：
由z=4ax+by（a＞0，b＞0），
得y=-$\frac{4a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，
平移直线y=-$\frac{4a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，由图象可知当直线y=-$\frac{4a}{b}$x+$\frac{z}{b}$经过点A时，直线y=-$\frac{4a}{b}$x+$\frac{z}{b}$的截距最大，此时最大值8，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{8x-y-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（1，4），
代入目标函数得4a+4b=8，即a+b=2，a²+b²的几何意义为直线上点到圆的距离的平方，
则圆心到直线的距离d=$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
则a²+b²的最小值为d²=2；
故答案为：2．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，确定a，b的关系是解决本题的关键．