Question

在数列中，，且前n项的算术平均数等于第n项的2n－1倍（）。

（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明。

Answer 1

（1）数列的前5项是：，，，，

（2）证明见解析

解析:

（1）由已知，，分别取，得：

，                  ，

，      

所以数列的前5项是：，，，，

（2）由（1）中的分析可以猜想。下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，公式显然成立。②假设当时成立，即，那么由已知，得，

即     所以

即，又归纳假设，得：

所以，即当时，公式也成立

由①，②，对一切，都有成立。