题目内容
7．已知f（x）=||x|-1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤3的解集A；
（Ⅱ）当m，n∈A时，证明：4|m+n|≤|mn+16|．
分析 （Ⅰ）去掉绝对值，即可求不等式f（x）≤3的解集A；
（Ⅱ）当m，n∈A时，利用分析法即可证明：4|m+n|≤|mn+16|．
解答 （ I）解：f（x）≤3即||x|-1|≤3⇒-3≤|x|-1≤3⇒-2≤|x|≤4…（2分）
解得：-4≤x≤4，所以A=[-4，4]…（4分）
（ II）证明：要证4|m+n|≤|mn+16|即证（4（m+n））2≤（mn+16）2…（6分）
因为 （4（m+n））2-（mn+16）2=16m2+16n2-m2n2-256=（m2-16）（16-n2）…（8分）
因为m，n∈A，所以m2≤16，n2≤16（m2-16）（16-n2）≤0
所以，[4（m+n）]2≤（mn+16）2
所以，4|m+n|≤|mn+16|…（10分）
点评 本题考查不等式的证明，考查分析法的综合运用，属于中档题．
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