Question

18．91⁹¹除以100的余数是      （　　）

• A． 1
• B． 9
• C． 11
• D． 91

Answer 1

分析 利用二项式定理展开91⁹¹，可得展开式中，除了最后一项9⁹¹外，其余的项都能被100整除，故91⁹¹除以10的余数是 9⁹¹．再用二项式定理展开 9⁹¹=（10-1）⁹¹，可得9⁹¹=909=9×100+9，从而得到答案．

解答 解：由于91⁹¹=（100-9）⁹¹=C₉₁⁰•100⁹¹•（-9）⁰+C₉₁¹•100⁹⁰•（-9）¹+…+C₉₁⁹¹•100⁰•（-9）⁹¹，
在此展开式中，除了最后一项外，其余的项都能被100整除，故91⁹²除以100的余数等价于C₉₁⁹¹•100⁰•（-9）⁹¹=-9⁹¹除以100的余数，
而 9⁹¹=（10-1）⁹¹=C₉₁⁰•10⁹¹•（-1）⁰+C₉₁¹•10⁹⁰•（-1）¹+…+C₉₁⁹¹•10⁰•（-1）⁹¹，
故9⁹¹除以100的余数等价于C₉₁⁹⁰•10¹•（-1）⁹⁰+C₉₁⁹¹•10⁰•（-1）⁹¹除以100的余数，
而C₉₁⁹⁰•10¹•（-1）⁹⁰+C₉₁⁹¹•10⁰•（-1）⁹¹=909=9×100+9，
∴9⁹¹除以100的余数是9，-9⁹¹除以100的余数是91，
故91⁹¹除以100的余数是91，
故选：D

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于中档题．