Question

13．已知函数f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-{cos^2}x-\frac{1}{2}$，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c且c=3，f（C）=0，若sinB=2sinA，求：边a，边b的值．

Answer 1

分析 （1）将f（x）解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域得出f（x）的最大值，找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期；
（2）由（1）确定的f（x）解析式及f（C）=0，求出sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，由C的范围，求出2C-$\frac{π}{6}$的范围，利用特殊角的三角函数值及正弦函数的图象求出C的度数，由sinB=2sinA，利用正弦定理得到b=2a①，再利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，将c与cosC的值代入得到关于a与b的方程，记作②，联立①②即可求出a与b的值．

解答 解：（1）由函数f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-{cos^2}x-\frac{1}{2}$，x∈R，
得$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1+cos}{2}-\frac{1}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，∴f（x）的最大值为0．∵ω=2，∴f（x）最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由（1）知$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）-1=0$，则$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$．
∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，
∴$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$C=\frac{π}{3}$．
∵sinB=2sinA，∴$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，①
由余弦定理得${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab=9，②
由①②解得$a=\sqrt{3}，b=2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，是中档题．