Question

7．在△ABC中，A，B，C的对边分别是 a，b，c已知 3acosA=ccosB+bcosC．
（Ⅰ）求 cosA 的值；
（Ⅱ）求$cos（2A+\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理与逆用两角和的正弦可将3acosA=ccosB+bcosC化为3sinAcosA=sinA，从而可求cosA的值；
（Ⅱ）利用二倍角的余弦公式及三角函数间的平方关系可求得cos2A与sin2A的值，再利用两角和的余弦即可求$cos（2A+\frac{π}{3}）$的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由3acosA=ccosB+bcosC，结合正弦定理得：3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
因为在△ABC中，sinA≠0，解得cosA=$\frac{1}{3}$，
故cosA的值为$\frac{1}{3}$；--------------------------------6；
（Ⅱ）因为cos2A=2cos²A-1=-$\frac{7}{9}$，A为锐角，
所以，sin2A=$\sqrt{1-{cos}^{2}2A}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$--------------------------------10；
所以，$cos（2A+\frac{π}{3}）$=cos2Acos$\frac{π}{3}$-sin2Asin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$cos2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A
=-$\frac{7+4\sqrt{6}}{18}$-------------------------------13．

点评 本题考查三角函数的化简求值，突出考查正弦定理的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．