Question

14．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4≤0}\\{x-y≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域为D，点A（2，0），点B（1，0），在区域D内随机取一点M，则点M满足|MA|≥$\sqrt{2}$|MB|的概率是（　　）

• A． $\frac{5π}{16}$
• B． $\frac{3π}{16}$
• C． $\frac{3π}{8}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的区域，利用几何概型的概率公式，即可得到结论．

解答 解：设M（x，y），
∵|MA|≥$\sqrt{2}$|MB|，
∴（x-2）²+y²≥2（x-1）²+2y²，
∴x²+y²≤2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，
解得x=y=$\frac{4}{3}$，
如图所示，三角形的高为$\frac{4}{3}$，边OA=2，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$，
圆落在三角形内的面积为S_扇形=$\frac{1}{8}$π×2=$\frac{π}{4}$，
∴点M满足|MA|≥2|MO|的概率是P=$\frac{{S}_{扇形}}{{S}_{三角形OBC}}$=$\frac{\frac{π}{4}}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3π}{16}$，
故选：B．

点评 本题主要考查了几何概型的求解，还考查了线性规划的知识，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．