Question

3．已知C为AB为直径的圆O上任意一点，且△SAC为等边三角形，平面SAC⊥平面ABC．
（1）求证：BC⊥SA；
（2）求二面角A-BC-S所成角的大小；
（3）若AC=2，SB=2$\sqrt{3}$，求直线SB与平面ABC所成角．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥平面SAC，由此能证明BC⊥SA．
（2）推导出SC⊥BC，AC⊥BC，则∠SCA是二面角A-BC-S的平面角，由此能求出二面角A-BC-S所成角的大小．
（3）取AC中点D，连结SD、BD，推导出SD⊥平面ABC，则∠SBD是直线SB与平面ABC所成角，由此能求出直线SB与平面ABC所成角．

解答 证明：（1）∵C为AB为直径的圆O上任意一点，
∴AC⊥BC，
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面SAC，
∵SA?平面SAC，
∴BC⊥SA．
解：（2）∵BC⊥平面SAC，
∴SC⊥BC，AC⊥BC，
∴∠SCA是二面角A-BC-S的平面角，
∵△SAC为等边三角形，
∴∠SCA=60°，
∴二面角A-BC-S所成角的大小为60°．
（3）取AC中点D，连结SD、BD，
∵△SAC为等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SD⊥平面ABC，
∴∠SBD是直线SB与平面ABC所成角，
∵AC=2，SB=2$\sqrt{3}$，
∴SD=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∴tan∠SBD=$\frac{SD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠SBD=arctan$\frac{1}{2}$．
∴直线SB与平面ABC所成角为arctan$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．