Question

7．在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；
（2）求点F到平面ACE的距离．

Answer 1

分析 （1）欲证PC⊥平面AEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PC与平面AEF内两相交直线垂直，而AF⊥PC，EF⊥PC，AF∩EF=F，满足定理的条件；
（2）利用V_E-ACF=V_F-ACE，即可求点F到平面ACE的距离．

解答 （1）证明：∵PA=CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD．则EF⊥PC．
∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．
（2）解：在△ACE中，AE=EC=$\sqrt{5}$，AC=2，∴S_△ACE=2．
V_E-ACF=$\frac{1}{3}{S}_{△ACF}•EF$=$\frac{1}{3}•1•\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵V_E-ACF=V_F-ACE，
∴$\frac{1}{3}•2•d$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
即点F到平面ACE的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及点F到平面ACE的距离，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．