Question

19．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1（n∈N*），a₁=1．
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1}为等比数列，并求a_n；
（2）设数列{b_n}满足b_n（3ⁿ-a_n）=$\frac{n+2}{n（n+1）}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证；T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1（n∈N*），可得n≥2时，2S_n-1=a_n-2ⁿ+1，相减变形化为：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+1=$\frac{3}{2}（\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+1）$，即可证明．
（2）b_n（3ⁿ-a_n）=$\frac{n+2}{n（n+1）}$，可得b_n=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$$（\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$．利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．

解答 证明：（1）∵2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1（n∈N*），∴n≥2时，2S_n-1=a_n-2ⁿ+1，相减可得2a_n=a_n+1-2ⁿ-a_n，化为：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+1=$\frac{3}{2}（\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+1）$，$\frac{{a}_{1}}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1}为等比数列，首项与公比都为$\frac{3}{2}$．∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1=$（\frac{3}{2}）^{n}$，化为：a_n=3ⁿ-2ⁿ．
（2）b_n（3ⁿ-a_n）=$\frac{n+2}{n（n+1）}$，∴b_n=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$$（\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$．
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$（1-\frac{1}{2×2}）$+$（\frac{1}{2×2}-\frac{1}{3×{2}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{n•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}）$=1-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$＜1，
∴T_n＜1．

点评 本题考查了“裂项求和法”、等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．