Question

20．如图所示，有一块半径为2的半圆形钢板，设计剪裁成矩形ABCD的形状，它的边AB在圆O的直径上，边CD的端点在圆周上，若设矩形的边AD为x；
（1）将矩形的面积S表示为关于x的函数，并求其定义域；
（2）求矩形面积的最大值及此时边AD的长度．

Answer 1

分析 （1）连接DO，把半径与AD的关系表示出来，ABCD是矩形，O是AB的中点．可得AO与x的关系．可得矩形的面积S与关于x的函数．
（2）利用基本不等式的性质求解最大值．

解答 解：（1）连接DO（如图），
由题意：AD=x；OD=2，ABCD是矩形，O是AB的中点．
∴AO=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，（0＜x＜2）．
那么：AB=2AO=2$\sqrt{4-{x}^{2}}$
∴ABCD矩形的面积S=AD•AB=x•2$\sqrt{4-{x}^{2}}$，（0＜x＜2）．
（2）由（1）可得：S=AD•AB=x•2$\sqrt{4-{x}^{2}}$，（0＜x＜2）．
=2$\sqrt{{x}^{2}（4-{x}^{2}）}$≤（x²+4-x²）=4，
当且仅当x=$\sqrt{2}$时，取等号．
故得ABCD矩形的面积S为4，此时边长AD=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数关系式的求解即函数解析式，实际问题，定义域的确定，利用了不等式的基本性质求解最值问题．属于基础题．