Question

9．设4个正数的和a₁+a₂+a₃+a₄=1，求证：$\frac{{a}_{1}^{2}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}^{2}}{{a}_{2}+{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{3}^{2}}{{a}_{3}+{a}_{4}}$+$\frac{{a}_{4}^{2}}{{a}_{4}+{a}_{1}}$≥$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由条件运用基本不等式可得（a₁+a₂）+$\frac{4{{a}_{1}}^{2}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$≥2$\sqrt{（{a}_{1}+{a}_{2}）•\frac{4{{a}_{1}}^{2}}{{a}_{1}+{a}_{2}}}$=4a₁，同理可得，（a₂+a₃）+$\frac{4{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{2}+{a}_{3}}$≥4a₂，
（a₃+a₄）+$\frac{4{{a}_{3}}^{2}}{{a}_{3}+{a}_{4}}$≥4a₃，（a₄+a₁）+$\frac{4{{a}_{4}}^{2}}{{a}_{4}+{a}_{1}}$≥4a₄，累加即可得证．

解答 证明：由4个正数的和a₁+a₂+a₃+a₄=1，可得
（a₁+a₂）+$\frac{4{{a}_{1}}^{2}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$≥2$\sqrt{（{a}_{1}+{a}_{2}）•\frac{4{{a}_{1}}^{2}}{{a}_{1}+{a}_{2}}}$=4a₁，
同理可得，（a₂+a₃）+$\frac{4{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{2}+{a}_{3}}$≥4a₂，
（a₃+a₄）+$\frac{4{{a}_{3}}^{2}}{{a}_{3}+{a}_{4}}$≥4a₃，
（a₄+a₁）+$\frac{4{{a}_{4}}^{2}}{{a}_{4}+{a}_{1}}$≥4a₄，
上面四式相加，可得
2（a₁+a₂+a₃+a₄）+（$\frac{4{{a}_{1}}^{2}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$+$\frac{4{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{2}+{a}_{3}}$+$\frac{4{{a}_{3}}^{2}}{{a}_{3}+{a}_{4}}$+$\frac{4{{a}_{4}}^{2}}{{a}_{4}+{a}_{1}}$）≥4（a₁+a₂+a₃+a₄），
即有$\frac{{a}_{1}^{2}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}^{2}}{{a}_{2}+{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{3}^{2}}{{a}_{3}+{a}_{4}}$+$\frac{{a}_{4}^{2}}{{a}_{4}+{a}_{1}}$≥$\frac{1}{2}$，
当且仅当a₁=a₂=a₃=a₄=$\frac{1}{4}$取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和不等式的可加性，同时考查运算和推理能力，属于中档题．